Raíces de una Ecuación Polinomial

Raíces Racionales  de un polinomio

Formula:

 Si a₀ y a_n son diferentes de cero, entonces cada solución racional x, cuando está escrita como fracción irreducible x = p/q, satisface

• p es un factor del término constante a₀, y
• q es un factor del coeficiente del término a_n.
• p y q son oprimimos:

Así, una lista de las posibles raíces racionales de la ecuación se puede derivar usando la fórmula ${\displaystyle x=\pm {\frac {p}{q}}}$.

El teorema de la raíz racional es un caso especial (para un solo factor lineal) del lema de Gauchos en la factorización de polinomios. El teorema de la raíz entera es un caso especial del teorema de la raíz racional si el coeficiente principal a_n = 1.

1)Para calcular las raíces enteras hay que sacar el divisor:

Divisores a0

Divisores an

Ejercicios:

P(X)=3X3+2X2-7X+2

DIVISORES: 3X3= +1; +3          +2     =  +1; +2

Divisores a0                      +1; +2                  =        +1; +1 ; +2; +2

Divisores an                      +1; +3                                   3           3

+1

                                      3X3+2X2-7X+2

=3(1)3+2(1)2-7(1)+2                          =3(-1)3+2(-1)2-7(-1)+2                  

=3(1)+2(1)-7+2                                 =3(-1)+2(1)+7+2   

=3+2-7+2                                          = -3+2+7+2

=0  -> Si es raíz                                = 8 -> No es raíz

+  1

    3

                                       3X3+2X2-7X+2  

=3(1)3+2(1)2-7(1)+2                             =3(-1)3+2(-1)2-7(-1)+2                                 

     3        3       3                                         3         3        3

=3(1)+2(1)-7+2                                  =3(-1)+2(1)+7+2                                  

    27     9   3                                            27     9    3

= 1+ 2 -7+2                                       = -1 + 2 + 7 + 2

   9   9  3                                               9     9    3

 = 3 -7 +2                                         =  -1 + 7 +2

    9  3                                                    9    3

=  1 - 7 + 2                                       = 1+21+18

    3   3                                                      9

= -6 +2                                             =  40 /9 -> No es raíz

    3 

=-2+2 =0    ->Si es raíz

+2

3X3+2X2-7X+2

  = 3(2)3+2(2)2-7(2)+2                                            = 3(-2)3+2(-2)2-7(-2)+2

  = 3(8)+2(4)-14+2                                                 = 3(-8)+2(4)+14+2

  = 24+8-14+2                                                       = -24+8+14+2

  = 34-14                                                               = -24+24 

  =20 -> No es raíz                                                = 0  -> Si es raíz

Hasta aquí nomas se realiza ya que ya encuentre 3 divisores que salen o entonces los demás ya no se hacen suficiente con lo  que hicimos 

         RST=   X1=   +1     

                     X2=    +1

                                3 

                     X3=   -2

Ejm: Utilizando el Teorema del Factor y la División  Sintética

https://youtu.be/qqbiO4ae1Bk

1) Escribe una lista de las posibles raíces racionales de un polinomio

2) Factorice completamente cada Polinomio

Dirrecion de la información de    Utilizando el Teorema del Factor y la División  Sintética

http://www.matematicatuya.com/NIVELACION/ALGEBRA/S8.html

Con mas informacion ir a mi blogger:
ejercicios2bachillerato.blogspot.com

Raíces de  una Ecuación Polinomial

Raíces enteras

Las raíces enteras son las que  salen como resultado es P(x)=0 así como el siguiente:
EJM:

P(x)=2x3-x2-4x+3                                                         Divisiones (+1 ; +3)
P(1)=2(1)3-(1)2-4(1)+3
       =2-1-4+3
       =2-5+3
       =0               Si es raíz
x= -1
P(-1)=2(-1)3-(-1)2-4(-1)+3
        =2(-1)-(1)+4+3
        = -2-1+4+3
       =-3+7
       =4                No es raíz
x= +3
P(3)=2(3)3-(3)2-4(3)+3
       =2(27)-9-12+3
       =54-9-12+3
       =57-21
       =36            No es raíz
x= -3
P(-3)=2(-3)3-(-3)2-4(-3)+3
       =2(-27)-9+12+3
       = -54-9+12+3
      =-63+15
       =-48       No es raíz
 R= La raíz entera en x= +1

Ejercicios : 

P(x)=x3+x2-4x-4=0                                                          Divisiones ( +1;+2;+4)
  
x=+1
P(1)=(1)3+(1)2-4(1)-4
      =1+1-4-4
      =2-8
      =-6     No es raíz

x= -1
P(-1)=(-1)3+(-1)2-4(-1)-4
        =-1+1+4-4
       =-5+5
      =0      Si es raíz
x=+2
P(2)=(2)3+(2)2-4(2)-4
       =8+4-8-4
       =0    Si es raíz
 x=-2
P(-2)=(-2)3+(-2)2-4(-2)-4
        =-8+4+8-4
        =-12+12
       =0      Si es raíz
x=+4
P(4)=(4)3+(4)2-4(4)-4
        =64+16-16-4
        =80-20
        =60       No es raiz
x= -4
P(-4)=(-4)3+(-4)2-4(-4)-4
        =-64+16+16-4
        =-68+32
        =36         No es raiz
R=La respuesta es x= -1    x= +2      x= -2

Aquí se encuentra un vídeo para que se fijen   :

https://youtu.be/s_k8Je0v434

Ecuaciones polinomiales

Pag: 45,46

FORMULA:
P(x)=anxn+anxn-1 +...........+a1x+a0=0

Teorema del factor 

En álgebra, el teorema del factor sirve para encontrar los factores de un polinomio. Es un caso especial del teorema del resto.

ejm:
                                                     P(x)=2x2-3x-5                        a=-1  ->(x+1)
P(a)=o                                                                                         a=2.5 ->(x-2.5)
P(x)=2x2-3x-5
P(-1)=2(-1)2-3(-1)-5
        =2+3-5
        =0
P(x)=2x2-3x-5
P(2.5)=2(2.5)2-3(2.5)-5
         =2(6.25)-7.5-5
         =12.5-12.5
         =0
R= si son factores xq  si sale que P(x) es igual a 0

EJERCICIOS:

• Compruebar si x+3 y x-5 es factor del siguiente polinomio

P(x)=2x3+5x2-6x-7                            x+3     ->     x=-3
P(-3)=2(-3)3+5(-3)2-6(-3)-7 
        =2(-27)+5(9)+18-7
        = -54+45+18-7
        =-61+63
        =2
R= No es factor de x+3 xq no sale igual a 0
P(x)=2x3+5x2-6x-7                        x-5    ->    x=5
P(5)=2(5)3+5(5)2-6(5)-7 
      = 2(125)+5(25)-30-7
      =250+125-37
     =338
R=No es factor 
Para mejor entendimiento revisar este siguiente video:

https://youtu.be/q-i63N0t8gU

Para mas informacion sigua revisando mi blogg: ejercicios2bachillerato.blogspot.com

 Teorema del Residuo

1) Primero nos da una operacion de P(x) 0  Q(x)

P(x)=2x2-11x+18  para Q(x)= x-1

2)Igualamos en el segundo polinomio en 0 y despejamos x

P(x)=2x2-11x+18                   x-1=0    =>    x=1

3) Luego lo que nos salio reemplazamos para P(x) en x

P(1)=2(1)2-11(1)+18

       =2(1)-11+18

       =2-11+18

       =9          => Este es el residuo o Resta

Ejercicios:

En los siguientes ejercicios , determine el valor del K para que la división del primer polinomio para el segundo, como el residuo

a) P(x)= -2x4+Kx2-x-5                   Q(x)=x+2    =>  x=-2             r=0

P(-2)= -2(-2)4+K(-2)2-(-2)-5

        = -2(16)+K(4)+2-5

        = -32+4K+2-5

            -35+4K=0

                  4K=35

                   K=35/4

R= La respuesta es que K= 35/4

b)P(x)=5x3-8x2+Kx-4      Q(x)= x-5  =>  x=5   r=-12

P(5)=5(5)3-8(5)2+K(5)-4

        =5(125)-8(25)+5k-4

        =625-200+5k-4

        =421+5k

          421+5k=-12

         5k=-421-12

         5k=-433

          K= -433/5

c)P(x)=x3+Kx2-5x+K         Q(x)=x-2  =>  x=2         r=7

P(2)=(2)3+K(2)2-5(2)+K  

       =8+K4-10+K

       = -2+4K+k

         -2+5K=7

             5k=7+2

             5k=9

               K=9/5

d) P(x)=2x2-3x+K                Q(x)=x-1    =>  x=1          r=6

P(1)=2(1)2-3(1)+K

       =2(1)-3+K

       =2-3+K

          -1+k=6

          k=6+1

          k=7

      

Aquí se encuentra un vídeo espero que les sea útil 

https://youtu.be/8Av_OVd0snM

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